Question

如圖，ABCD-A₁B₁C₁D₁為正方體，下面結論錯誤的序號是     ．
①BD∥平面CB₁D₁；
②AC₁⊥BD；
③AC₁⊥平面CB₁D₁；
④異面直線AD與CB₁所成角為60°．

Answer 1

【答案】分析：利用正方體的性質，利用線線平行的判定，線面平行、垂直的判定和性質，逐一分析研究各個選項的正確性．
解答：解：由正方體的性質得，BD∥B₁D₁，所以，BD∥平面CB₁D₁；故①正確．
由正方體的性質得 AC⊥BD，而AC是AC₁在底面ABCD內的射影，由三垂線定理知，AC₁⊥BD，故②正確．
由正方體的性質得 BD∥B₁D₁，由②知，AC₁⊥BD，所以，AC₁⊥B₁D₁，同理可證AC₁⊥CB₁，
故AC₁垂直于平面CB₁D₁內的2條相交直線，所以，AC₁⊥平面CB₁D₁ ，故③成立．
異面直線AD與CB₁所成角就是BC與CB₁所成角，故∠BCB₁ 為異面直線AD與CB₁所成角，
等腰直角三角形BCB₁ 中，∠BCB₁=45°，故④不正確．
故答案為：④．
點評：本題考查線面平行的判定，利用三垂線定理證明2條直線垂直，線面垂直的判定，求異面直線成的角．