Question

2．已知函數f（x）=e^x+e^-x，其中e是自然對數的底數．
（1）證明：f（x）是R上的偶函數；
（2）判斷f（x）在（0，+∞）上的單調性，并證明．

Answer 1

分析 （1）根據題意，先分析函數f（x）=e^x+e^-x的定義域為R，進而計算可得f（-x）=f（x），即可證明函數f（x）為偶函數；
（2）根據題意，用定義法進行證明：先設x₁＞x₂＞0，再計算化簡f（x₁）-f（x₂）可得：f（x₁）-f（x₂）=（${e}^{{x}_{1}}$-${e}^{{x}_{2}}$）（$\frac{{e}^{{x}_{1}}{e}^{{x}_{2}}-1}{{e}^{{x}_{1}}{e}^{{x}_{2}}}$），結合指數函數的性質分析可得f（x₁）-f（x₂）＞0，即可得證明．

解答 解：（1）證明：函數f（x）=e^x+e^-x，其定義域為R，
f（-x）=e^-x+e^-（-x）=e^-x+e^x=f（x）；
故f（x）=e^x+e^-x是R上的偶函數；
（2）根據題意，函數f（x）=e^x+e^-x為增函數，
證明如下：設x₁＞x₂＞0，
f（x）=e^x+e^-x=e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$，
f（x₁）-f（x₂）=（${e}^{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{e}^{{x}_{1}}}$）-（${e}^{{x}_{2}}$+$\frac{1}{{e}^{{x}_{2}}}$）
=${e}^{{x}_{1}}$-${e}^{{x}_{2}}$+$\frac{1}{{e}^{{x}_{1}}}$-$\frac{1}{{e}^{{x}_{2}}}$
=（${e}^{{x}_{1}}$-${e}^{{x}_{2}}$）-$\frac{{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}}{{e}^{{x}_{1}}{e}^{{x}_{2}}}$
=（${e}^{{x}_{1}}$-${e}^{{x}_{2}}$）（$\frac{{e}^{{x}_{1}}{e}^{{x}_{2}}-1}{{e}^{{x}_{1}}{e}^{{x}_{2}}}$），
而函數y=e^x為指數函數，且x₁＞x₂＞0，
則${e}^{{x}_{1}}$＞${e}^{{x}_{2}}$＞1，
則f（x₁）-f（x₂）=（${e}^{{x}_{1}}$-${e}^{{x}_{2}}$）（$\frac{{e}^{{x}_{1}}{e}^{{x}_{2}}-1}{{e}^{{x}_{1}}{e}^{{x}_{2}}}$）＞0，
故f（x）=e^x+e^-x為（0，+∞）上的增函數．

點評 本題考查函數的單調性．奇偶性的判定，注意判定奇偶性之前要先分析函數的定義域．