【題目】已知正方體
的棱長為2，點
，
，
分別為棱
，
，
的中點，下列結論中，其中正確的個數是（ ）
①過，，三點作正方體的截面，所得截面為正六邊形；
②
平面
；
③
平面
；
④異面直線
與
所成角的正切值為
；
⑤四面體
的體積等于
A.1B.2C.3D.4
【答案】B
【解析】
根據公理3，作截面可知①正確；根據直線與平面的位置關系可知②不正確；根據線面垂直的判定定理可知③正確；由條件有
,所以
為異面直線
與
的夾角可知④正確；用正方體體積減去四個正三棱錐的體積可知⑤不正確．
對于①.延長分別與
的延長線交于
，連接
交
于
，設
與
的延長線交于
，連接
交
于
，交
于
，連
，則截面六邊形
為正六邊形，故①正確；
對于②.
與相交，故與平面
相交，所以②不正確；
對于③.∵
，且
與
相交，所以
平面
，故③正確；
對于④.連接
,由條件有,所以（或其補角）為異面直線與的夾角,在直角三角形
中，
.故④不正確；
對于⑤.四面體
的體積等于正方體的體積減去四個正三棱錐的體積，即為
，故⑤不正確．
所以正確的命題有2個.
故選：B
智能訓練練測考系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】隨著智能手機的普及，手機計步軟件迅速流行開來，這類軟件能自動記載每個人每日健步的步數，從而為科學健身提供一定的幫助.某市工會為了解該市市民每日健步走的情況，從本市市民中隨機抽取了2000名市民（其中不超過40歲的市民恰好有1000名），利用手機計步軟件統計了他們某天健步的步數，并將樣本數據分為
，
，
，
，
，
，
，
，
九組（單位；千步），將抽取的不超過40歲的市民的樣本數據繪制成頻率分布直方圖如圖，將40歲以上的市民的樣本數據繪制成頻數分布表如下，并利用該樣本的頻率分布估計總體的概率分布.
分組（單位 千步） |
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|
頻數 | 10 | 20 | 20 | 30 | 400 | 200 | 200 | 100 | 20 |
（1）現規定，日健步步數不低于13000步的為“健步達人”，填寫下面列聯表，并根據列聯表判斷能否有99.9%的把握認為是否為“健步達人”與年齡有關；
健步達人 | 非健步達人 | 總計 | |
40歲以上的市民 | |||
不超過40歲的市民 | |||
總計 |
（2）利用樣本平均數和中位數估計該市不超過40歲的市民日健步步數（單位：千步）的平均數和中位數；
（3）若日健步步數落在區間
內，則可認為該市民”運動適量”，其中
，
分別為樣本平均數和樣本標準差，計算可求得頻率分布直方圖中數據的標準差約為3.64.若一市民某天的健步步數為2萬步，試判斷該市民這天是否“運動適量”？
參考公式：
.
參考數據：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】千百年來，我國勞動人民在生產實踐中根據云的形狀、走向、速度、厚度、顏色等的變化，總結了豐富的“看云識天氣”的經驗，并將這些經驗編成諺語，如“天上鉤鉤云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同學為了驗證“日落云里走，雨在半夜后”，觀察了所在地區
的
天日落和夜晚天氣，得到如下
列聯表：
夜晚天氣日落云里走 | 下雨 | 未下雨 |
出現 |
|
|
未出現 |
|
|
參考公式：
.
臨界值表：
|
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（1）根據上面的列聯表判斷能否有
的把握認為“當晚下雨”與“‘日落云里走’出現”有關？
（2）小波同學為進一步認識其規律，對相關數據進行分析，現從上述調查的“夜晚未下雨”天氣中按分層抽樣法抽取
天，再從這天中隨機抽出
天進行數據分析，求抽到的這天中僅有
天出現“日落云里走”的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】現有一副斜邊長為10的直角三角板，將它們斜邊
重合，若將其中一個三角板沿斜邊折起形成三棱錐
，如圖所示，已知
，
，則三棱錐的外接球的表面積為______；該三棱錐體積的最大值為_______．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
為等差數列，各項為正的等比數列
的前
項和為
，
，
，__________.在①
；②
；③
這三個條件中任選其中一個，補充在橫線上，并完成下面問題的解答（如果選擇多個條件解答，則以選擇第一個解答記分）.
（1）求數列和的通項公式；
（2）求數列
的前項和
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，且經過點
．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設橢圓的上、下頂點分別為
， 點
是橢圓上異于的任意一點， 
軸， 
為垂足， 
為線段
中點，直線
交直線
于點
， 
為線段
的中點，若四邊形
的面積為
，求直線的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】學校藝術節對
四件參賽作品只評一件一等獎，在評獎揭曉前，甲，乙，丙，丁四位同學對這四件參賽作品預測如下：
甲說：“是
或
作品獲得一等獎”； 乙說：“ 
作品獲得一等獎”；
丙說：“ 
兩件作品未獲得一等獎”； 丁說：“是作品獲得一等獎”．
評獎揭曉后，發現這四位同學中只有兩位說的話是對的，則獲得一等獎的作品是_________．
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