Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且經過點．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）設橢圓的上、下頂點分別為， 點是橢圓上異于的任意一點， 軸， 為垂足， 為線段中點，直線交直線于點， 為線段的中點，若四邊形的面積為，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）由離心率得，再把已知點的坐標代入，結合聯立后可解得，得橢圓方程；

（Ⅱ）設，得點坐標，寫出方程，求得點坐標，又可得點坐標，利用斜率相等求出與軸交點的坐標，利用可求得點坐標，從而得直線方程．

（Ⅰ）由題意，解得，

所以橢圓的標準方程為．

（Ⅱ）設，則，且．因為為線段中點，

所以．又，所以直線的方程為．

因為 令，得即．又，為線段的中點，有．

設直線與軸交于，

由得：，∴，

∴．

又，∴，

解得：，代入橢圓方程得：，∵，∴，

∴直線的方程為．