Question

在△OAB中，O為坐標原點，A（1，cosθ），B（sinθ，1），θ∈，則當△OAB的面積達最大值時，則θ=    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意在平面直角坐標系中，畫出單位圓O，單位圓O與x軸交于M，與y軸交于N，過M，N作y軸和x軸的平行線交于P，角θ如圖所示，所以三角形AOB的面積就等于正方形OMPN的面積減去三角形OAM的面積減去三角形OBN的面積，再減去三角形APB的面積，分別求出各自的面積，利用二倍角的正弦函數(shù)公式得到一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的值域及角度的范圍即可得到三角形面積最大時θ所取的值．
解答：解：如圖單位圓O與x軸交于M，與y軸交于N，
過M，N作y軸和x軸的平行線交于P，
則S_△OAB=S_{正方形OMPN}-S_△OMA-S_△ONB-S_△ABP
=1-（sinθ×1）-（cosθ×1）-（1-sinθ）（1-cosθ）
=-sincosθ=-sin2θ
因為θ∈（0，]，2θ∈（0，π]，
所以當2θ=π即θ=時，sin2θ最小，
三角形的面積最大，最大面積為．
故答案為：
點評：此題考查學生靈活運用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡求值，利用運用數(shù)學結(jié)合的數(shù)學思想解決實際問題，掌握利用正弦函數(shù)的值域求函數(shù)最值的方法，是一道中檔題．