Question

在△OAB中，O為坐標原點，A（1，cosθ），B（sin θ，1），則△OAB的面積的取值范圍是（　�。�

• A．（0，1]
• B．[

  1

  2

  ，

  3

  2

  ]
• C．[

  1

  4

  ，

  3

  2

  ]
• D．[

  1

  4

  ，

  3

  4

  ]

Answer 1

分析：根據題意在平面直角坐標系中，畫出單位圓O，單位圓O與x軸交于M，與y軸交于N，過M，N作y軸和x軸的平行線交于P，角θ如圖所示，所以三角形AOB的面積就等于正方形OMPN的面積減去三角形OAM的面積減去三角形OBN的面積，再減去三角形APB的面積，分別求出各自的面積，利用二倍角的正弦函數公式得到一個角的正弦函數，根據正弦函數的值域及角度的范圍即可得到三角形面積最大值和最小值．

解答：解：如圖單位圓O與x軸交于M，與y軸交于N，
過M，N作y軸和x軸的平行線交于P，
則S_△OAB=S_{正方形OMPN}-S_△OMA-S_△ONB-S_△ABP
=1-

1

2

（sinθ×1）-

1

2

（cosθ×1）-

1

2

（1-sinθ）（1-cosθ）
=

1

2

-

1

2

sincosθ=

1

2

-

1

4

sin2θ
因為θ∈R，2θ∈R，
所以當2θ=

π

2

即θ=

π

4

時，sin2θ最大，
三角形的面積最小，最小面積為

1

4

．
當2θ=-

π

2

即θ=-

π

4

時，sin2θ最小，
三角形的面積最大，最大面積為

3

4

．
△OAB的面積的取值范圍是：[

1

4

，

3

4

]．
故選D．

點評：此題考查學生靈活運用二倍角的正弦函數公式化簡求值，利用運用數學結合的數學思想解決實際問題，掌握利用正弦函數的值域求函數最值的方法，是一道中檔題．