Question

【題目】設函數(shù).

（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若的圖象與軸交于兩點，起，求的取值范圍；

（3）令， ，證明： .

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為（2）（3）見解析

【解析】試題分析：（1）當時,求出，由 可得增區(qū)間，由可得減區(qū)間；（2）求出函數(shù)的導數(shù)，由，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得，從而確定的范圍；（3）當時，先證明即， ， 得，則疊加得化簡即可得結(jié)果.

試題解析：（1）當時， 得，解得，

∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.

（2），依題意可知，此時得，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又或時，

，

∴的圖象與軸交于兩點，

當且僅當即

得.

∴的取值范圍為.

（3）令，

∵，∵，得

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以，得.

當時， 即.

令， 得，則疊加得：

，

即.