Question

【題目】已知函數f（x）=x2+2x|x﹣a|，其中a∈R．
（1）當a=﹣1時，在所給坐標系中作出f（x）的圖象；
（2）對任意x∈[1，2]，函數g（x）=﹣x+14的圖象恒在函數f（x）圖象的上方，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=﹣1時，作出函數f（x）=x2+2x|x﹣a|=x2+2x|x+1|= 的圖象，

如圖所示：

（2）解：由題意，對任意x∈[1，2]，f（x）＜g（x），

即f（x）+x＜14恒成立，

只需[f（x）+x）]max＜14．

另一方面，f（x）= ．

當a≥0時，f（x）在（﹣∞，a）和（a，+∞）上均遞增，∵f（a）=a2，則f（x）在R上遞增，

當a＜0時，f（x）在（﹣∞，a）和（ ，+∞）上遞增，在（a， ）上遞減，

故f（x）在x∈[1，2]上恒單調遞增，從而y=f（x）+x在x∈[1，2]上也恒單調遞增，

則[f（x）+x]max=f（2）+2=4+4|2﹣a|+2＜14，即|2﹣a|＜2，解得0＜a＜4，

故實數a的取值范圍是（0，4）

【解析】（1）當a=﹣1時，作出函數f（x）=x2+2x|x+1|= 的圖象．（Ⅱ）由題意，對任意x∈[1，2]，只需[f（x）+x]max＜14．分類討論求得[f（x）+x]max ， 可得實數a的取值范圍．