Question

【題目】關于下列命題，正確的個數是（ ）
①若點（2，1）在圓x2+y2+kx+2y+k2﹣15=0外，則k＞2或k＜﹣4
②已知圓M：（x+cosθ）2+（y﹣sinθ）2=1，直線y=kx，則直線與圓恒相切
③已知點P是直線2x+y+4=0上一動點，PA、PB是圓C：x2+y2﹣2y=0的兩條切線，A、B是切點，則四邊形PACB的最小面積是為2
④設直線系M：xcosθ+ysinθ=2+2cosθ，M中的直線所能圍成的正三角形面積都等于12 ．
A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】解：對于②：∵點（2，1）在圓外，∴k2+2k﹣8＞0，解得k＜﹣4，或k＞2，故①正確；
對于②：圓心M到直線的距離d= =|sin（θ+φ）|，其中sinφ= ，cosφ= ，
∵|sin（θ+φ）|≤1，∴直線與圓相交或相切．故②錯誤；
對于③：圓C：x2+y2﹣2y=0，即x2+（y﹣1）2=1，故圓心C（0，1），半徑r=1，
圓心C到直線2x+y+4=0的距離d= ，即PCmin= ，
∵ ，∴PAmin=2，
∵ ，∴（S四邊形PACB）min=2，故③正確；
對于④：直線系M：xcosθ+ysinθ=2+2cosθ，即（x﹣2）cosθ+ysinθ=2
∵點（2，0）到直線的距離d= ，
∴直線系M都是圓C：（x﹣2）2+y2=4的切線．
設△ABC是M中的直線所能圍成的一個正三角形，則AC=2r=4，AB=2AD=2
∴S= ，故④正確．

綜上可知，正確的是①，③，④，共有3個．
故選：C
【考點精析】認真審題，首先需要了解命題的真假判斷與應用(兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系)．