Question

（x²-x+2）⁵的展開式中x³的系數為

 

．

Answer 1

考點：二項式系數的性質

專題：二項式定理

分析：先求得二項式展開式的通項公式，再令x的冪指數等于3，求得r、r′的值，即可求得x³項的系數．

解答： 解：式子（x²-x+2）⁵ =[（x²-x）+2]⁵的展開式的通項公式為T_r+1=

C

r 5

•（x²-x）^5-r•2^r，
對于（x²-x）^5-r，它的通項公式為T_r′+1=（-1）^r′•

C

r′ 5-r

•x^10-2r-r′，
其中，0≤r′≤5-r，0≤r≤5，r、r′都是自然數．
令10-2r-r′=3，可得

r=2 r′=3

，或

r=3 r′=1

，
故x³項的系數為

C

2 5

•2²•（-

C

3 3

）+

C

3 5

•2³•（-

C

1 2

）=-200，
故答案為：-200．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數，二項式系數的性質，屬于中檔題．