Question

已知a，b，c為都大于1的不全相等的正實數，求證：

b2c2

a2

+

c2a2

b2

+

a2b2

c2

＞ab+bc+ac．

Answer 1

分析：由于a，b，c為都大于1的不全相等的正實數，利用基本不等式得：

b2c2

a2

+

c2a2

b2

≥ 2c 2，

c2a2

b2

+

a2b2

c2

≥ 2a 2，

b2c2

a2

+

a2b2

c2

≥2b 2，三式相加得：

b2c2

a2

+

c2a2

b2

+

a2b2

c2

≥a 2+b 2+c 2，
再利用基本不等式即可得到證明．

解答：證明：∵a，b，c為都大于1的不全相等的正實數，

b2c2

a2

+

c2a2

b2

≥ 2c 2，

c2a2

b2

+

a2b2

c2

≥ 2a 2，

b2c2

a2

+

a2b2

c2

≥2b 2，
∴

b2c2

a2

+

c2a2

b2

+

a2b2

c2

≥a 2+b 2+c 2，
又a²+b²≥2ab，
a²+c²≥2ac，c²+b²≥2cb，
∴a²+b²+c²≥2ab+2bc+2ac
所以

b2c2

a2

+

c2a2

b2

+

a2b2

c2

≥ab+bc+ac
上述不等式取等條件是：當且僅當a=b=c
由題意a，b，c不全相等，所以等號取不到
所以

b2c2

a2

+

c2a2

b2

+

a2b2

c2

＞ab+bc+ac

點評：點評：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用．使用基本不等式時一定要把握好“一定，二正，三相等”的原則．