Question

已知a，b都是正數，△ABC是平面直角坐標系xOy內，以兩點A （ a，0 ）和B （ 0，b ）為頂點的正三角形，且它的第三個頂點C在第一象限內．
（1）若△ABC能含于正方形D={ （ x，y ）|0≤x≤1，0≤y≤1}內，試求 變量 a，b 的約束條件，并在直角坐標系aOb內內畫出這個約束等條件表示的平面區域；
（2）當（ a，b ）在（1）所得的約束條件內移動時，求△ABC面積S的最大值，并求此時（a，b ）的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于△ABC是平面直角坐標系xOy內，以兩點A （ a，0 ）和B （ 0，b ）為頂點的正三角形，得出頂點C是以A、B為圓心|AB|為半徑的兩圓在第一象限的交點，結合圓的方程解出C點的坐標，利用其在△ABC含于正方形D內，即可得出關于（a，b）的約束條件．其圖形為右圖的六邊形；
（2）根據△ABC是邊長為 的正三角形，當S取最大值等價于六邊形圖形中的點（ a，b ）到原點的距離最大，利用六邊形中P、Q、R相應的OP、OQ、OR的計算即得．
解答：解：（1）頂點C是以A、B為圓心|AB|為半徑的兩圓在第一象限的交點，
由圓A：（ x-a）²+y²=a²+b²，圓B：x²+（ y-b ）²=a²+b²．
解得 x=，y=，
∴C（， ），
△ABC含于正方形D內，
即三頂點A，B，C含于區域D內時，
∴
這就是（a，b）的約束條件．其圖形為右圖的六邊形，
∵a＞0，b＞0，∴圖中坐標軸上的點除外．
（2）∵△ABC是邊長為 的正三角形，
∴S= （ a²+b²）在（1）的條件下，
當S取最大值等價于六邊形圖形中的點（ a，b ）到原點的距離最大，
由六邊形中P、Q、R相應的OP、OQ、OR的計算．
OP²=OR²=1²+（ 2- ）²=8-4；OQ²=2（-1）²=8-4．
知：當 （ a，b ）=（ 1，2- ），或（-1，-1），或（ 2-，1 ）時，Smax=2-3．
點評：本小題主要考查簡單線性規劃的應用、圓的方程、解三角形等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．