Question

設a∈R，函數f （x）=e^x+

a

ex

是偶函數，若曲線y=f （x）的一條切線的斜率是

3

2

，則切點的橫坐標為

ln2

．

Answer 1

分析：先由f（x）為偶函數求出a值，然后求出導數f′（x），令f′（x）=

3

2

，解出x即為所求．

解答：解：因為f（x）=e^x+

a

ex

是偶函數，所以總有f（-x）=f（x），即e-x+

a

e-x

=e^x+

a

ex

，整理得（a-1）（ex-

1

ex

）=0，所以有a-1=0，即a=1．
則f（x）=ex+

1

ex

，f′（x）=e^x-

1

ex

，令f′（x）=e^x-

1

ex

=

3

2

，整理即為2e^2x-3e^x-2=0，解得e^x=2，所以x=ln2．
故答案為：ln2．

點評：本題考查函數的奇偶性及導數的幾何意義，若f（x）為偶函數，則f（-x）=f（x）恒成立．