Question

（2008•西城區(qū)二模）設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=3x³-4x+a+1．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對(duì)于任意x∈[-2，0]，不等式f（x）≤0恒成立，求a的最大值．

Answer 1

分析：（I）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)fˊ（x），然后解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）根據(jù)對(duì)于任意x∈[-2，0]，不等式f（x）≤0恒成立，將a分離出來(lái)，然后研究另一側(cè)函數(shù)的最值即可求出a的最值．

解答：（Ⅰ）解：f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=9x²-4．
令f′（x）＞0，解得x＞

2

3

，或x＜-

2

3

；
令f′（x）＜0，解得-

2

3

＜x

2

3

．
從而f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞，-

2

3

)，(

2

3

，+∞)；
單調(diào)遞減區(qū)間為（-

2

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，

2

3

）
（Ⅱ）解：由f（x）≤0，得-a≥3x³-4x+1
由（Ⅰ）得，函數(shù)y=3x³-4x+1在（-2，

2

3

）內(nèi)單調(diào)遞增，
在（-

2

3

，0）內(nèi)單調(diào)遞減，
從而當(dāng)x=-

2

3

時(shí)，函數(shù)y=3x³-4x+1取得最大值

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9

因?yàn)閷?duì)于任意x∈[-2，0]，不等式f（x）≤0恒成立，
故-a≥

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，即a≤-

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，
從而a的最大值是-

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點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減，以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化與劃歸的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．