Question

設a∈R，函數 f （x）=x²+2a|x-1|，x∈R．
（1）討論函數f （x）的奇偶性；
（2）求函數f （x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）第一問考查函數的奇偶性，當a=0時，利用f（-x）=f（x）在R上恒成立，即可求得函數是偶函數；當a≠0時，用特殊值法判斷函數不是奇函數又不是偶函數；
（2）第二問是求最值的題目，先判斷函數的單調性再求最值：分別求出分段函數的對稱軸，再利用對a進行分類討論：a≥1時； a＜1時，通過函數的單調性，求出函數的最小值．

解答：解：∵f （x）=x²+2 a|x-1|，x∈R．
（1）當a=0時，f （x）=x²，函數是偶函數；當a≠0時函數非奇非偶函數．…（2分）
因為f（1）=1，f（-1）=1+4a≠f（1），即a≠0時函數不是偶函數；…（3分）
當a≠-

1

2

時f（-1）=1+4a≠-f（1），函數不是奇函數；當a=-

1

2

時，
f（x）=x²-|x-1|，f（2）=3，f（-2）=1，f（-2）≠-f（2），所以函數不是奇函數．…（5分）
綜上，當a=0時，f （x）=x²，函數是偶函數；當a≠0時函數非奇非偶函數．
（2）f （x）=

x2+2ax-2a x2-2ax+2a

=

(x+a)2-a2-2a，x≥1 (x-a)2-a2 +2a，x＜1

…（7分）
1° a≥1時，x≥1時，f （x）≥x²≥1=f （1）⇒f （x）_min=1…（8分）
x＜1時，對稱軸 x=a＞1⇒f （x） 在 （-∞，1）上為減函數⇒f （x）＞f （1）=1
綜上，a≥1時，f （x）_min=1…（10分）
2° a＜1時，若 x＜1，f （x）_min=f （a）=-a²+2a=2a-a²…（11分）
而 x≥1時，f （x）_min≥-a²-2a＞-a²＞2a-a²…（12分）
∴a＜1時，f （x）_min=2a-a²
∴f （x）_min=

1，a≥0 2a-a2，a＜0

…（13分）．

點評：本小題主要考查帶絕對值的函數、二次函數的性質、函數奇偶性的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力與轉化思想，考查二次函數的最值的求法，考查分類討論思想，計算能力．本題是中檔題，