Question

設a∈R，函數f（x）=

x-a

lnx

，F（x）=

x

．
（Ⅰ）當a=0時，比較f（2e+1）與f（3e）的大小；
（Ⅱ）若存在實數a，使函數f（x）的圖象總在函數F（x）的圖象的上方，求a的取值集合．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數，確定f（x）在（e，+∞）上是增函數，即可比較f（2e+1）與f（3e）的大小；
（Ⅱ）函數f（x）的圖象總在函數F（x）的圖象的上方等價于f（x）＞F（x）恒成立，即

x-a

lnx

＞

x

在（0，1）∪（1，+∞）上恒成立．分類討論，利用分離參數法，即可求a的取值集合．

解答：解：（Ⅰ）當a=0時，f（x）=

x

lnx

，f′(x)=

lnx-1

ln2x

當x＞e時，f′（x）＞0，所以f（x）在（e，+∞）上是增函數
而3e=2e+e＞2e+1＞e，
∴f（3e）＞f（2e+1）
（Ⅱ）函數f（x）的圖象總在函數F（x）的圖象的上方等價于f（x）＞F（x）恒成立，
即

x-a

lnx

＞

x

在（0，1）∪（1，+∞）上恒成立．
①當0＜x＜1時，lnx＜0，則

x-a

lnx

＞

x

等價于a＞x-

x

lnx
令g（x）=x-

x

lnx，g′(x)=

2 x -2-lnx

2 x

，
再令h（x）=2

x

-2-lnx，h′（x）=

x -1

x

當0＜x＜1時，h′（x）＜0，∴h（x）在（0，1）上遞減，
∴當0＜x＜1時，h（x）＞h（1）=0，
∴g′(x)=

2 x -2-lnx

2 x

＞0，所以g（x）在（0，1）上遞增，g（x）＜g（1）=1，
∴a≥1
②當x＞1時，lnx＞0，則

x-a

lnx

＞

x

等價于a＜x-

x

lnx，等價于a＜g（x）
由①知，當x＞1時，h′（x）＞0，∴h（x）在（1，+∞）上遞增
∴當x＞1時，h（x）＞h（1）=0，g′(x)=

2 x -2-lnx

2 x

＞0
∴g（x）在（1，+∞）上遞增，∴g（x）＞g（1）=1
∴a≤1
由①及②得：a=1，
故所求a值的集合為{1}．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查恒成立問題，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．