Question

如圖，ABCD—A₁B₁C₁D₁是正方體，在圖(1)中E、F分別是D₁C₁、B₁B的中點，畫出圖(1)、(2)中有陰影的平面與平面ABCD的交線，并給出證明.

Answer 1

【探究】 在圖(1)中過點E作EN平行于BB₁交CD于點N，連結(jié)NB并延長交EF的延長線于點M，連結(jié)AM，則AM即為有陰影的平面與平面ABCD的交線.

    在圖(2)中，延長DC，過點C₁作C₁M∥A₁B交DC的延長線于點M，連結(jié)BM，則BM即為有陰影的平面與平面ABCD的交線.

    證明：在圖(3)中，因為直線EN∥BF，所以BNEF四點共面.因此EF與BN相交，交點為M.因為M∈EF，且M∈NB，而EF平面AEF，NB?平面ABCD，所以M是平面ABCD與平面AEF的公共點.又因為點A是平面AEF和平面ABCD的公共點，故AM為兩平面的交線.

    在圖(4)中，C₁M在平面CDD₁C₁內(nèi)，因此與DC的延長線相交，交點為M，則點M為平面A₁C₁B與平面ABCD的公共點，又點B是這兩個平面的公共點，因此直線BM是兩平面的交線.

【規(guī)律總結(jié)】 確定兩個平面的交線，就是找兩個平面的兩個公共點，一般題目都會給出一個公共點，在確定另一個公共點時通常利用分別在已知的兩個平面內(nèi)的兩條直線的交點來確定.