Question

【題目】如圖，在△ABC中，D為邊BC上一點，AD=6，BD=3， DC=2．

（1）若AD⊥BC，求∠BAC的大小；
（2）若∠ABC= ，求△ADC的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：設∠BAD=α，∠DAC=β．

因為AD⊥BC，AD=6，BD=3，DC=2，

所以tanα= ，tanβ= ，

所以tan∠BAC=tan（α+β）= = =1．

又∠BAC∈（0，π），

所以∠BAC=

（2）解：設∠BAD=α．在△ABD中，∠ABC= ，AD=6，BD=3．

由正弦定理得 = ，解得sinα= ．

因為AD＞BD，

所以α為銳角，從而cosα= = ．

因此sin∠ADC=sin（α+ ）=sinαcos +cosαsin = （ + ）= ．

△ADC的面積S= ×AD×DCsin∠ADC= ×6×2× = （1+ ）

【解析】（1）設∠BAD=α，∠DAC=β，由已知可求tanα= ，tanβ= ，利用兩角和的正切函數公式可求tan∠BAC=1．結合范圍∠BAC∈（0，π），即可得解∠BAC的值．（2）設∠BAD=α．由正弦定理可求sinα= ，利用大邊對大角，同角三角函數基本關系式可求cosα的值，利用兩角和的正弦函數公式可求sin∠ADC，進而利用三角形面積公式即可計算得解．