Question

5．①$y=2{x^2}+\frac{4}{x}$的最小值為6；
②當a＞0，b＞0時，$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+2\sqrt{ab}≥4$；
③$y=x{（1-2x）^2}，（0＜x＜\frac{1}{2}）$最大值為$\frac{2}{27}$；
④當且僅當a，b均為正數時，$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}≥2$恒成立．
以上命題是真命題的是②③．

Answer 1

分析 ①取x=-1時，$y=2{x^2}+\frac{4}{x}$=-2＜6，即可判斷出真假；
②當a＞0，b＞0時，兩次利用基本不等式的性質即可判斷出真假；
③$y=x{（1-2x）^2}，（0＜x＜\frac{1}{2}）$，可得y=$\frac{1}{4}×4x（1-2x）（1-2x）$≤$\frac{1}{4}（\frac{4x+1-2x+1-2x}{3}）^{3}$=$\frac{2}{27}$，即可判斷出真假；
④當且僅當$\frac{a}{b}＞$0時，$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}≥2$恒成立，即可判斷出真假．

解答 解：①取x=-1時，$y=2{x^2}+\frac{4}{x}$=-2＜6，因此是假命題；
②當a＞0，b＞0時，$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+2\sqrt{ab}$$≥2\sqrt{\frac{1}{ab}}+2\sqrt{ab}$≥4，當且僅當a=b＞0時取等號，是真命題；
③$y=x{（1-2x）^2}，（0＜x＜\frac{1}{2}）$，∴y=$\frac{1}{4}×4x（1-2x）（1-2x）$≤$\frac{1}{4}（\frac{4x+1-2x+1-2x}{3}）^{3}$=$\frac{2}{27}$，當且僅當x=$\frac{1}{6}$時取等號．因此其最大值為$\frac{2}{27}$，是真命題；
④當且僅當$\frac{a}{b}＞$0時，$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}≥2$恒成立，因此是假命題．
以上命題是真命題的是②③．
故答案為：②③．

點評 本題考查了基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．