Question

18．定義在（0，+∞）上的函數f（x）滿足x²f′（x）+1＞0，f（2）=$\frac{9}{2}$，則不等式f（lgx）＜$\frac{1}{lgx}$+4的解集為（　　）

• A． （10，100）
• B． （0，100）
• C． （100，+∞）
• D． （1，100）

Answer 1

分析 令g（x）=f（x）-$\frac{1}{x}$，求出函數的導數，問題轉化為g（lnx）＜g（2），求出x的范圍即可．

解答 解：令g（x）=f（x）-$\frac{1}{x}$，
則g′（x）=f′（x）+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，
g（x）在（0，+∞）遞增，
而g（2）=f（2）-$\frac{1}{2}$=4，
故由f（lgx）＜$\frac{1}{lgx}$+4，
得g（lgx）＜g（2），
故0＜lgx＜2，解得：1＜x＜100，
故選：D．

點評 本題考查了函數的單調性問題，考查導數的應用，構造函數g（x）=f（x）-$\frac{1}{x}$是解題的關鍵，本題是一道中檔題．