Question

（本小題滿分13分）已知是邊長為1的正方體，求：

（Ⅰ）直線與平面所成角的正切值；

（Ⅱ）二面角的大小．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）60°

【解析】

試題分析：（Ⅰ）先根據其為正方體得到∠C1AB1就是AC1與平面AA1B1B所成的角；然后在RT△C1AB1中求其正切即可；

（Ⅱ）先過B1作B1E⊥BC1于E，過E作EF⊥AC1于F，連接B1F；根據AB⊥平面B1C1CB推得B1E⇒AC1；進而得到∠B1FE是二面角B﹣AC1﹣B1的平面角；然后通過求三角形的邊長得到二面角B﹣AC1﹣B1的大小即可．

試題解析：（Ⅰ）連接AB1，∵ABCD﹣A1B1C1D1是正方體

∴B1C1⊥平面ABB1A1，AB1是AC1在平面AA1B1B上的射影

∴∠C1AB1就是AC1與平面AA1B1B所成的角

在RT△C1AB1中，tan∠C1AB1=

∴直線AC1與平面AA1B1B所成的角的正切值為.

（Ⅱ）過B1作B1E⊥BC1于E，過E作EF⊥AC1于F，連接B1F；

∵AB⊥平面B1C1CB，⇒AB⊥B1E⇒B1E⇒平面ABC1⇒B1E⇒AC1

∴∠B1FE是二面角B﹣AC1﹣B1的平面角

在RT△BB1C1中，B1E=C1E=BC1=，

在RT△ABC1中，sin∠BC1A=

∴EF=C1E•sin∠BC1A=，

∴tan∠B1FE=

∴∠B1FE=60°，即二面角B﹣AC1﹣B1的大小為60°．

考點：線面角以及二面角的平面角及其求法.