Question

已知⊙O方程為x²+y²=4,定點A(4,0),求過點A且和⊙O相切的動圓圓心的軌跡.

Answer 1

剖析：兩圓外切,連心線長等于兩圓半徑之和,兩圓內切,連心線長等于兩圓半徑之差,由此可得到動圓圓心在運動中所應滿足的幾何條件,然后將這個幾何條件坐標化,即得到它的軌跡方程.

解法一：設動圓圓心為P(x,y),因為動圓過定點A,所以|PA|即動圓半徑.

    當動圓P與⊙O外切時,|PO|=|PA|+2;

    當動圓P與⊙O內切時,|PO|=|PA|-2.

    綜合這兩種情況,得||PO|-|PA||=2.

    將此關系式坐標化,得

    |-|=2.

    化簡可得(x-2)²-=1.

解法二：由解法一可得動點P滿足幾何關系

    ||OP|-|PA||=2,

    即P點到兩定點O、A的距離差的絕對值為定值2,所以P點軌跡是以O、A為焦點,2為實軸長的雙曲線,中心在OA中點(2,0),實半軸長a=1,半焦距c=2,虛半軸長b==,所以軌跡方程為(x-2)²-=1.