Question

17．已知△ABC是邊長為3的等邊三角形，點P是以A為圓心的單位圓上一動點，點Q滿足$\overrightarrow{AQ}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AP}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$，則|$\overrightarrow{BQ}$|的最小值是$\frac{3\sqrt{7}-2}{3}$．

Answer 1

分析 首先建立平面直角坐標系：以A為原點，平行于CB的直線為x軸，這樣便可建立坐標系，然后便可根據條件確定出C，B點的坐標，并根據題意設P（cosθ，sinθ），從而得到$\overrightarrow{BQ}$的坐標，用θ表示|$\overrightarrow{BQ}$|即可．

解答 解：如圖建立平面直角坐標系，設P（cosθ，sinθ），則A（0，0），B（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），C（$\frac{3}{2}$，-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）；
$\overrightarrow{AQ}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AP}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$=$\frac{2}{3}（cosθ，sinθ）+\frac{1}{3}（\frac{3}{2}，-\frac{3\sqrt{3}}{2}）$=（$\frac{2}{3}cosθ+\frac{1}{2}，\frac{2}{3}sinθ-\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
$\overrightarrow{BQ}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AQ}$=（$\frac{2}{3}cosθ+2，\frac{2}{3}sinθ+\sqrt{3}$）
則|$\overrightarrow{BQ}$|=$\sqrt{（\frac{2}{3}cosθ+2）^{2}+（\frac{2}{3}sinθ+\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{67}{9}+\frac{4\sqrt{7}}{3}sin（θ+α）}≥\sqrt{\frac{67}{9}-\frac{4\sqrt{7}}{3}}$=$\sqrt{\frac{67-12\sqrt{7}}{9}}=\frac{3\sqrt{7}-2}{3}$．
∴故答案為：$\frac{3\sqrt{7}-2}{3}$

點評 本題考查了數量積運算性質、三角函數的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題