Question

9．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，并且過點P（2，-1）
（1）求橢圓C的方程；
（2）設點Q在橢圓C上，且PQ與x軸平行，過p點作兩條直線分別交橢圓C于兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若直線PQ平分∠APB，求證：直線AB的斜率是定值，并求出這個定值．

Answer 1

分析 （1）由題意的離心率可得a，b的關系，化橢圓方程為x²+4y²=4b²．結合C過點P（2，-1），可得b²的值，進一步求得a²的值，則橢圓方程可求；
（2）設直線PA的方程為y+1=k（x-2），聯立直線方程和橢圓方程，求得A的橫坐標，同理求得B的橫坐標，進一步求得A、B的縱坐標的差，代入向量公式得答案．

解答 （1）解：由$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}$，即a²=4b²，
∴橢圓C的方程可化為x²+4y²=4b²．
又橢圓C過點P（2，-1），
∴4+4=4b²，得b²=2，則a²=8．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）證明：由題意，設直線PA的方程為y+1=k（x-2），
聯立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4{y}^{2}=8}\\{y=k（x-2）-1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²-8（2k²+k）x+16k²+16k-4=0．
∴$2{x}_{1}=\frac{16{k}^{2}+16k-4}{1+4{k}^{2}}$，即${x}_{1}=\frac{8{k}^{2}+8k-2}{1+4{k}^{2}}$．
∵直線PQ平分∠APB，即直線PA與直線PB的斜率互為相反數，
設直線PB的方程為y=1=-k（x-2），同理求得${x}_{2}=\frac{8{k}^{2}-8k-2}{1+4{k}^{2}}$．
又$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}+1=k（{x}_{1}-2）}\\{{y}_{2}+1=-k（{x}_{2}-2）}\end{array}\right.$，∴y₁-y₂=k（x₁+x₂）-4k．
即${y}_{1}-{y}_{2}=k（{x}_{1}+{x}_{2}）-4k=k\frac{16{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}-4k$=$-\frac{8k}{1+4{k}^{2}}$，${x}_{1}-{x}_{2}=\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$．
∴直線AB的斜率為${k}_{AB}=\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=\frac{\frac{-8k}{1+4{k}^{2}}}{\frac{16k}{1+4{k}^{2}}}=-\frac{1}{2}$．

點評 本題考查橢圓標準方程的求法，考查了直線與橢圓位置關系的應用，考查計算能力，屬中檔題．