Question

（2013•懷化二模）函數(shù)y=3

x-1

+4

5-x

的最大值是

10

．

Answer 1

分析：根據(jù)

x-1

與

5-x

的平方和等于4，進(jìn)行三角換元：設(shè)

x-1

=2cosα，得

5-x

=2sinα，原函數(shù)化成y=6cosα+8sinα，利用輔助角公式合并得y=10sin（α+θ），結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得到函數(shù)的最大值．

解答：解：∵(

x-1

)2+(

5-x

)2=4，
∴設(shè)

x-1

=2cosα，得

5-x

=2sinα，（0≤α≤

π

2

）
因此，函數(shù)y=3

x-1

+4

5-x

=6cosα+8sinα=10sin（α+θ）
其中θ是滿足tanθ=

3

4

的銳角
當(dāng)且僅當(dāng)α+θ=

π

2

，即cosα=

4

5

且sinα=

3

5

時(shí)，函數(shù)的最大值是10
故答案為：10

點(diǎn)評(píng)：本題給出含有根號(hào)的函數(shù)，求函數(shù)的最大值，著重考查了利用三角換元求函數(shù)的值域和三角恒等變換等知識(shí)，屬于中檔題．