Question

雙曲線kx²-y²=1，右焦點為F，斜率大于0的漸近線為l，l與右準線交于A，FA與左準線交于B，與雙曲線左支交于C，若B為AC的中點，求雙曲線方程．

Answer 1

【答案】分析：由題設條件求出A（，），B（-，）．由B是AC中點，知x_C=2x_B-x_A=-，y_C=2y_B-y_A=．
將x_C、y_C代入方程kx²-y²=1，得k²c⁴-10kc²+25=0．求出k的值，從而得到雙曲線方程．
解答：解：由題意k＞0，c=，
漸近線方程l為y=x，
準線方程為x=±，于是A（，），
直線FA的方程為y=，
于是B（-，）．
由B是AC中點，則x_C=2x_B-x_A=-，
y_C=2y_B-y_A=．
將x_C、y_C代入方程kx²-y²=1，得
k²c⁴-10kc²+25=0．
解得k（1+）=5，則k=4．
所以雙曲線方程為：4x²-y²=1．
點評：本題考查雙曲線的性質和綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答．