Question

雙曲線kx²-y²=1，右焦點為F，斜率大于0的漸近線為l，l與右準線交于A，FA與左準線交于B，與雙曲線左支交于C，若B為AC的中點，求雙曲線方程．

Answer 1

分析：由題設條件求出A（

1

kc

，

k

kc

），B（-

1

kc

，

1+kc2

k c(kc2-1)

）．由B是AC中點，知x_C=2x_B-x_A=-

3

kc

，y_C=2y_B-y_A=

3+kc2

k c(kc2-1)

．
將x_C、y_C代入方程kx²-y²=1，得k²c⁴-10kc²+25=0．求出k的值，從而得到雙曲線方程．

解答：解：由題意k＞0，c=

1+ 1 k

，
漸近線方程l為y=

k

x，
準線方程為x=±

1

kc

，于是A（

1

kc

，

k

kc

），
直線FA的方程為y=

k (x-c)

1-kc2

，
于是B（-

1

kc

，

1+kc2

k c(kc2-1)

）．
由B是AC中點，則x_C=2x_B-x_A=-

3

kc

，
y_C=2y_B-y_A=

3+kc2

k c(kc2-1)

．
將x_C、y_C代入方程kx²-y²=1，得
k²c⁴-10kc²+25=0．
解得k（1+

1

k

）=5，則k=4．
所以雙曲線方程為：4x²-y²=1．

點評：本題考查雙曲線的性質和綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答．