Question

【題目】已知函數.

（1）判斷函數的奇偶性，并說明理由；

（2）若為R上的偶函數，且關于x的不等式在上恒成立，求實數k的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），偶函數；，奇函數；，非奇非偶函數，理由見解析；（2）.

【解析】

（1）根據函數奇偶性的定義即可判斷函數f（x）的奇偶性；

（2）由題意可得在（﹣∞，0）上恒成立，求出右邊函數的取值范圍，可得k的不等式，解不等式即可得到所求范圍．

（1）f（﹣x）＝2﹣x+m2x，

若f（x）是偶函數，則f（﹣x）＝f（x），即2﹣x+m2x＝2x+m2﹣x，

所以（m﹣1）（2x﹣2﹣x）＝0對任意實數x成立，所以m＝1；

若f（x）是奇函數，則f（﹣x）＝﹣f（x），即2﹣x+m2x＝﹣2x﹣m2﹣x，

所以（m+1）（2x+2﹣x）＝0對任意實數x成立，所以m＝﹣1．

綜上，當m＝1時，f（x）是偶函數；當m＝﹣1時，f（x）是奇函數；當m≠±1時，f（x）既不是奇函數也不是偶函數．

（2）f（x）0，3k2+1＞0，

且2kf（x）＞3k2+1在（﹣∞，0）上恒成立，

故原不等式等價于在（﹣∞，0）上恒成立，

又x∈（﹣∞，0），所以f（x）∈（2，+∞），

所以，

從而，即有3k2﹣4k+1≤0，

因此，．