Question

【題目】某環境保護部門對某處的環境狀況用“污染指數”來監測，據測定，該處的“污染指數”與附近污染源的強度和距離之比成正比，比例系數為常數，現已知相距的兩家化工廠（污染源）的污染強度分別為1和，它們連線段上任意一點處的污染指數等于兩化工廠對該處的污染指數之和，設；

（1）試將表示為的函數，指出其定義域；

（2）當時，處的“污染指數”最小，試求化工廠的污染強度的值；

Answer 1

【答案】(1) ， ; (2)

【解析】

（1）設點受污染源污染程度為，點受污染源污染程度為，其中為比例系數，且，則點處受污染程度是二者之和，定義域為.
（2）因為 ，所以 ，令 ，得．

(1) 設點受污染源污染程度為，

點受污染源污染程度為.取值為比例系數且.
所以點點處受污染程度為，.

(2)由，所以，

當時，處的“污染指數”最小，

即時，函數取得最小值.

由，則函數的最小值一定是對應的極小值點.

令，由，解得.

當時，.

函數在上單調遞減，在上單調遞增，滿足條件.

所以.