【題目】如圖，在三棱錐P-ABC中，已知
，頂點P在平面ABC上的射影為
的外接圓圓心.
（1）證明：平面
平面ABC；
（2）若點M在棱PA上，
，且二面角P-BC-M的余弦值為
，試求
的值.
【答案】（1）證明見解析 （2）
【解析】
（1）設
的中點為
，連接
，易知點為
的外接圓圓心，從而
平面
，即可證明平面
平面ABC；
（2）以
，
，
所在直線分別為
軸，
軸，
軸建立如圖所示的空間直角坐標系， 求出平面
與平面
的法向量，代入公式即可建立
的方程，解之即可.
（1）證明：如圖，設的中點為，連接，
由題意，得
，則為直角三角形，
點為的外接圓圓心．
又點
在平面上的射影為的外接圓圓心，
所以平面，
又
平面
，所以平面平面．
（2）解：由（1）可知平面，
所以
，
，
，
于是以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則
，
，
，
，
，
設
，
，
，
設平面的法向量為
，
則
得
令
，得
，
，
即
．
設平面的法向量為
，
由
得
令
，得
，
，即
解得
即M為PA的中點．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】數學老師給出一個函數
，甲、乙、丙、丁四個同學各說出了這個函數的一條性質：甲：在
上函數單調遞減；乙：在
上函數單調遞增；丙：在定義域R上函數的圖象關于直線
對稱；丁：
不是函數的最小值．老師說：你們四個同學中恰好有三個人說的正確．那么，你認為____說的是錯誤的．
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【題目】設等差數列{an}的前n項和為Sn，已知：a5＝2a2+3且a2，
，a14成等比數列．
（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）設正項數列{bn}滿足bn2Sn+1＝Sn+1+2，求證：b1+b2+…+bn＜n+1．
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【題目】某大學棋藝協會定期舉辦“以棋會友”的競賽活動，分別包括“中國象棋”、“圍棋”、“五子棋”、“國際象棋”四種比賽，每位協會會員必須參加其中的兩種棋類比賽，且各隊員之間參加比賽相互獨立；已知甲同學必選“中國象棋”，不選“國際象棋”，乙同學從四種比賽中任選兩種參與.
（1）求甲參加圍棋比賽的概率；
（2）求甲、乙兩人參與的兩種比賽都不同的概率.
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【題目】根據某省的高考改革方案，考生應在3門理科學科（物理、化學、生物）和3門文科學科（歷史、政治、地理）的6門學科中選擇3門學科參加考試.根據以往統計資料，1位同學選擇生物的概率為0.5，選擇物理但不選擇生物的概率為0.2，考生選擇各門學科是相互獨立的.
（1）求1位考生至少選擇生物、物理兩門學科中的1門的概率；
（2）某校高二段400名學生中，選擇生物但不選擇物理的人數為140，求1位考生同時選擇生物、物理兩門學科的概率.
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【題目】如圖，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1＝AC，A1B⊥AC1，設O為AC1與A1C的交點，點P為BC的中點.求證：
（1）OP∥平面ABB1A1；
（2）平面ACC1⊥平面OCP.
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【題目】某醫院體檢中心為回饋大眾，推出優惠活動：對首次參加體檢的人員，按200元/次收費，并注冊成為會員，對會員的后續體檢給予相應優惠（本次即第一次），標準如下：
體檢次序 | 第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次及以上 |
收費比例 | 1 | 0.95 | 0.90 | 0.85 | 0.8 |
該體檢中心從所有會員中隨機選取了100位對他們在本中心參加體檢的次數進行統計，得到數據如下表：
體檢次數 | 一次 | 兩次 | 三次 | 四次 | 五次及以上 |
頻數 | 60 | 20 | 12 | 4 | 4 |
假設該體檢中心為顧客體檢一次的成本費用為150元，根據所給數據，解答下列問題：
（1）已知某顧客在此體檢中心參加了3次體檢，求這3次體檢，該體檢中心的平均利潤；
（2）該體檢中心要從這100人里至少體檢3次的會員中，按體檢次數用分層抽樣的方法抽出5人，再從這5人中抽取2人發放紀念品，求抽到的2人中恰有1人體檢3次的概率．
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【題目】某工廠預購軟件服務，有如下兩種方案：
方案一：軟件服務公司每日收取工廠60元，對于提供的軟件服務每次10元；
方案二：軟件服務公司每日收取工廠200元，若每日軟件服務不超過15次，不另外收費，若超過15次，超過部分的軟件服務每次收費標準為20元.
（1）設日收費為
元，每天軟件服務的次數為
，試寫出兩種方案中與的函數關系式；
（2）該工廠對過去100天的軟件服務的次數進行了統計，得到如圖所示的條形圖，依據該統計數據，把頻率視為概率，從節約成本的角度考慮，從兩個方案中選擇一個，哪個方案更合適？請說明理由.
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