Question

已知函數f（x）=alnx+（a≠0）在（0，）內有極值．
（I）求實數a的取值范圍；
（II）若x₁∈（0，），x₂∈（2，+∞）且a∈[，2]時，求證：f（x₁）﹣f（x₂）≥ln2+．

Answer 1

（1）；（2）證明過程詳見解析.

試題分析：本題主要考查導數的運算，利用導數研究函數的單調性及最值、不等式等基礎知識，考查函數思想，突出考查綜合運用數學知識和方法分析問題解決問題的能力.第一問，先對求導，由函數定義域可知，的分母為正數，設的分子為新函數，判斷，所以或，解得的取值范圍；第二問，對求導，令，設出方程的兩根，利用韋達定理得到兩根之和、兩根之積，判斷導函數的正負，決定函數的單調性，求出最大值和最小值，代入求證的式子的左邊，化簡，得到，再求函數的最小值，通過不等式的傳遞性得到求證的表達式.
試題解析：（I）由（），得：，
∵a≠0，令，∴．
令或， 則．
(II）由（I）得：，
設（）的兩根為，
則，得．
當和時，，函數f（x）單調遞增；
當和時，，函數f（x）單調遞減，
則，，
則
==（利用）
令，則，
則函數單調遞增， ，
∴，
∵，則，
∴．