Question

17．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的離心率$e∈[{\sqrt{2}，2}]$，則該雙曲線的漸近線與實(shí)軸所成角的取值范圍是$\frac{π}{4}$≤θ≤$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)經(jīng)過一、三象限的漸近線與實(shí)軸所成的角為θ，則tanθ=$\frac{b}{a}$，根據(jù)2≤$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}$≤4，求出$\frac{b}{a}$的范圍，即得tanθ的范圍，從而得到θ 的范圍．

解答 解：設(shè)經(jīng)過一、三象限的漸近線與實(shí)軸所成的角為θ，則tanθ=$\frac{b}{a}$．
由題意可得2≤$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}$≤4，
∴1≤$\frac{b}{a}$≤$\sqrt{3}$，即 1≤tanθ≤$\sqrt{3}$，∴$\frac{π}{4}$≤θ≤$\frac{π}{3}$，
故答案為：$\frac{π}{4}$≤θ≤$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，求出1≤$\frac{b}{a}$≤$\sqrt{3}$，是解題的關(guān)鍵．