Question

（2012•上海模擬）如圖所示，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，BC=2，CC₁=5，M為棱CC₁上一點．
（1）若C1M=

3

2

，求異面直線A₁M和C₁D₁所成角的正切值；
（2）若C₁M=1，試證明：BM⊥平面A₁B₁M．

Answer 1

分析：（1）連接A₁M、B₁M，根據A₁B₁∥C₁D₁，得∠B₁A₁M或其補角即為異面直線A₁M和C₁D₁所成角．Rt△A₁B₁M中，求出B₁M的長，結合直角三角形中三角函數定義，算出tan∠B₁A₁M=

5

2

，即為異面直線A₁M和C₁D₁所成角的正切值；
（2）矩形BB₁C₁C中，根據Rt△B₁C₁M∽Rt△MCB，證出BM⊥B₁M，再結合A₁B₁⊥BM和線面垂直的判定定理，即可得到BM⊥平面A₁B₁M．

解答：解：（1）連接A₁M、B₁M
∵長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁B₁∥C₁D₁，
∴∠B₁A₁M或其補角即為異面直線A₁M和C₁D₁所成角
∵A₁B₁⊥平面BB₁C₁C，B₁M⊆平面BB₁C₁C，∴A₁B₁⊥B₁M
Rt△B₁C₁M中，B₁M=

B1C12+B1M2

=

5

2

∴Rt△A₁B₁M中，tan∠B₁A₁M=

B1M

A 1B1

=

5

2

即異面直線A₁M和C₁D₁所成角的正切值等于

5

2

；
（2）∵Rt△B₁C₁M中，C₁M=1，B₁C₁=2且Rt△BCM中，CM=4，BC=2
∴

BC

C1M

=

CM

B1C1

=2，結合∠MC₁B₁=∠BCM=90°
∴Rt△B₁C₁M∽Rt△MCB，可得∠BMC=∠MB₁C₁=90°-∠B₁MC₁．
∴∠BMC+∠B₁MC₁=90°，得BM⊥B₁M
又∵A₁B₁⊥平面BB₁C₁C，BM⊆平面BB₁C₁C，∴A₁B₁⊥BM
∵A₁B₁、B₁M是平面A₁B₁M內的相交直線
∴BM⊥平面A₁B₁M．

點評：本題在長方體中求異面直線所成角的正切值，并且證明線面垂直，著重考查了長方體的性質、線面垂直的判定與性質和異面直線所成角的求法等知識，屬于中檔題．