Question

（2012•上海模擬）若函數f（x）定義域為R，滿足對任意x₁，x₂∈R，有f（x₁+x₂）≤f（x₁）+f（x₂），則稱f（x）為“V形函數”．
（1）當f（x）=x²時，判斷f（x）是否為V形函數，并說明理由；
（2）當f（x）=lg（x²+2）時，證明：f（x）是V形函數；
（3）當f（x）=lg（2^x+a）時，若f（x）為V形函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當x₁，x₂同號時，f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂），不滿足V形函數的定義，可判定；
（2）利用對數的運算性質進行化簡整理，然后根據V形函數的定義判定即可；
（3）根據V形函數的定義建立不等關系，轉化成a（2^x₁+x₂）+a²-a≥0對任意x₁，x₂∈R恒成立，然后討論a的符號，解之即可．

解答：解：（1）當f（x）=x²時，f（x₁+x₂）=x₁²+x₂²+2x₁x₂，f（x₁）+f（x₂）=x₁²+x₂²，
當x₁，x₂同號時，f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂），不滿足V形函數的定義，
故當f（x）=x²時，f（x）不是V形函數；
（2）當f（x）=lg（x²+2）時f（x₁+x₂）=lg[（x₁+x₂）²+2]=lg（x₁²+x₂²+2x₁x₂+2），
f（x₁）+f（x₂）=lg（x₁²+2）+lg（x₂²+2）=lg[2（x₁²+x₂²）+x₁²x₂²+4]
∴滿足對任意x₁，x₂∈R，有f（x₁+x₂）≤f（x₁）+f（x₂），則f（x）=lg（x²+2）為“V形函數”．
（3）當f（x）=lg（2^x+a）時，若f（x）為V形函數
則f（x₁+x₂）≤f（x₁）+f（x₂），
即lg（2^x₁+x₂+a）≤lg（2^x₁+a）+lg（2^x₂+a）=lg[2^x₁+x₂+a（2^x₁+x₂）+a²]
∴a（2^x₁+x₂）+a²-a≥0對任意x₁，x₂∈R恒成立
當a=0時，成立，當a＜0時不成立，當a＞0時，a≥（1-2^x₁+x₂）_max
∴a≥1或a=0

點評：本題主要考查了函數恒成立問題，以及對數運算等基礎知識，同時考查了計算能力和轉化的思想，屬于中檔題．