Question

10．在△ABC中，sinA+2sinBcosC=0，$\sqrt{3}$b=c，則tanA的值是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 利用三角函數恒等變換的應用化簡已知等式可得cosBsinC=-3sinBcosC，根據正弦定理，余弦定理化簡整理可得：2a²+b²=c²，結合已知$\sqrt{3}$b=c，解得a=b，可得A為銳角，進而利用余弦定理可求cosA的值，利用同角三角函數基本關系式可求sinA，tanA的值．

解答 解：∵sinA+2sinBcosC=sin（B+C）+2sinBcosC=sinBcosC+cosBsinC+2sinBcosC=0，
∴cosBsinC=-3sinBcosC，
∴ccosB=-3bcosC，可得：c•$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=（-3）b•$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，整理可得：2a²+b²=c²，
又∵$\sqrt{3}$b=c，
∴2a²+b²=c²=3b²，解得a=b，可得A為銳角，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{{b}^{2}+3{b}^{2}-{b}^{2}}{2b×\sqrt{3}b}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得：sinA=$\frac{1}{2}$，tanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故選：A．

點評 本題主要考查了三角函數恒等變換的應用，正弦定理，余弦定理，同角三角函數基本關系式在解三角形中的應用，考查了轉化思想，屬于基礎題．