Question

已知二次函數h（x）=ax²+bx+c（其中c＜3），其導函數y=h′（x）的圖象如圖，f（x）=6lnx+h（x）
（1）求函數f（x）在x=3處的切線斜率；
（2）若函數y=-x，x∈（0，6]的圖象總在函數y=f（x）圖象的上方，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據圖象可知導函數過（0，-8），（4，0）兩點，進而求出a和b的值，把a和b的值代入h（x）中求出解析式，然后把h（x）代入到f（x）中化簡后求出f′（x），把x=3代入f′（x）中算出f′（3）即可得到切線的斜率；
（2）函數y=-x的圖象總在函數y=f（x）圖象的上方得到-x大于等于f（x），列出不等式解出c≤-x²-6lnx+7x恒成立，構造函數g（x）=-x²-6lnx+7x，求出函數的最小值即可得到c的范圍．

解答：解：（1）由已知，h′（x）=2ax+b，其圖象為直線，且過（0，-8），（4，0）兩點，
把兩點坐標代入h′（x）=2ax+b可得

b=-8 8a+b=0

，∴a=1，b=-8，∴h′（x）=2x-8
∴h（x）=x²-8x+c，
∴f（x）=6lnx+x²-8x+c
∴f′（x）=

6

x

+2x-8
∴f'（3）=0，所以函數f（x）在點（3，f（3））處的切線斜率為0；
（2）由題意，-x≥f（x）在x∈（0，6]恒成立，得-x≥6lnx+x²-8x+c在x∈（0，6]恒成立，即c≤-x²-6lnx+7x在x∈（0，6]恒成立，
設g（x）=-x²-6lnx+7x，x∈（0，6]，則c≤g（x）_min，
g′（x）=-2x-

6

x

+7=-

(2x-3)(x-2)

x

∵x＞0，∴當x∈（

3

2

，2）時，∴g'（x）＞0，g（x）為增函數；當x∈（0，

3

2

）和（2，+∞）時，∴g'（x）＜0，g（x）為減函數
∴g（x）的最小值為g（

3

2

）和g（6）的較小者．
∵g（

3

2

）=-

9

4

-6ln

3

2

+7×

3

2

=

33

4

-6ln

3

2

，g（6）=-36-6ln6+42=6-6ln6，
∴g（3

3

2

）-g（6）=

9

4

-6ln

3

2

+6ln6=

9

4

+12ln2＞0，
∴g（x）_min=g（6）=6-6ln6．
又已知c＜3，
∴c≤6-6ln6．

點評：本題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導數研究函數的單調區間以及根據函數的增減性得到函數的最值．屬于中檔題．