Question

（第三、四層次學校的學生做次題）
已知二次函數h（x）=ax²+bx+c（c＞0），其導函數y=h′（x）的圖象如下，且f（x）=lnx-h（x）．
（1）求a，b的值；
（2）若函數f（x）在(

1

2

，m+

1

4

)上是單調遞減函數，求實數m的取值范圍；
（3）若函數y=2x-lnx（x∈[1，4]）的圖象總在函數y=f（x）的圖象的上方，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）h′（x）=2ax+b，由圖象可知過A（2，-1）、B（0，3）兩點，從而得關于a，b的方程組，解出即可；
（2）求出函數f（x）的定義域，利用導數可求得函數的單調減區間，由題意知，區間(

1

2

，m+

1

4

)為函數f（x）減區間的子集，由此得不等式，注意區間端點間的大小關系；
（3）由題意可知，2x-lnx＞x²-3x-c+lnx在x∈[1，4]上恒成立，即當x∈[1，4]時，c＞x²-5x+2lnx恒成立，令g（x）=x²-5x+2lnx，x∈[1，4]，則問題可轉化為c＞g（x）_max，利用導數易求g（x）_max；

解答：解：（1）h′（x）=2ax+b，其圖象為直線，且過A（2，-1）、B（0，3）兩點，

4a+b=-1 b=3

，解得

a=-1 b=3

；
（2）由題意可知，f（x）的定義域為（0，+∞），
由（1）知，f（x）=lnx+x²-3x-c，f′（x）=2x-3+

1

x

=

2x2-3x+1

x

，
令f′（x）=0，得x=

1

2

或x=1，
當0＜x＜

1

2

或x＞1時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；當

1

2

＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；
所以f（x）的單調減區間為（

1

2

，1），
要使函數f（x）在區間(

1

2

，m+

1

4

)上是單調遞減函數，
則

1 2 ＜m+ 1 4 m+ 1 4 ≤1

，解得

1

4

＜m≤

3

4

，
故實數m的取值范圍是（

1

4

，

3

4

]；
（3）由題意可知，2x-lnx＞x²-3x-c+lnx在x∈[1，4]上恒成立，即當x∈[1，4]時，c＞x²-5x+2lnx恒成立，
設g（x）=x²-5x+2lnx，x∈[1，4]，則c＞g（x）_max，
易知g′（x）=2x-5+

2

x

=

2x2-5x+2

x

=

(2x-1)(x-2)

x

，
令g′（x）=0得，x=

1

2

或x=2，
當x∈（1，2）時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減；當x∈（2，4）時，g′（x）＞0，函數g（x）單調遞增．
而g（1）=1-5×1+2ln1=-4，g（4）=4²-5×4+2ln4=-4+4ln2，
顯然，g（1）＜g（4），故函數g（x）在[1，4]上的最大值為g（4）=-4+4ln2，
故c＞-4+4ln2，
所以c的取值范圍為（-4+4ln2，+∞）．

點評：本題考查二次函數的性質、利用導數研究函數的單調性、最值，考查函數恒成立問題，考查轉化思想．