Question

（2014•達州一模）已知二次函數h（x）=ax²+bx+c（其中c＜3），其導函數y=h′（x）的圖象如圖，f（x）=6lnx+h（x）．
（I）求函數f（x）在x=3處的切線斜率；
（Ⅱ）若函數f（x）在區間（m，m+

1

2

）上是單調函數，求實數m的取值范圍；
（Ⅲ）若對任意k∈[-1，1]，函數y=kx，x∈（0，6]的圖象總在函數y=f（x）圖象的上方，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用導函數y=h′（x）的圖象確定a，b，c．然后求出函數f（x），求出導函數y=f′（x），可得函數f（x）在x=3處的切線斜率k=f'（3）．
（Ⅱ）要使求函數f（x）在區間（m，m+

1

2

）上是單調函數，則f'（x）的符號沒有變化，可以求得實數m的取值范圍．
（Ⅲ）函數y=kx的圖象總在函數y=f（x）圖象的上方得到kx大于等于f（x），列出不等式，構造函數，求出函數的最小值即可得到c的范圍．

解答：解：（I）二次函數h（x）=ax²+bx+c的導數為y=h′（x）=2ax+b，由導函數y=h′（x）的圖象可知，
導函數y=h′（x）過點（4，0）和（0，-8），
代入h′（x）=2ax+b得b=-8，a=1，即h（x）=x²-8x+c，h′（x）=2x-8，
f（x）=6lnx+h（x）=6lnx+x²-8x+c，f′(x)=

6

x

+2x-8，所以函數f（x）在x=3處的切線斜率k=f'（3）=2+2×3-8=0，
所以函數f（x）在點（3，f（3））處的切線斜率為0．
（Ⅱ）因為f（x）=6lnx+x²-8x+c的定義域為（0，+∞），則f′(x)=

6

x

+2x-8=

2x2-8x+6

x

=

2(x-2)2-2

x

在（m，m+

1

2

）上導數符號不變化．
因為，f′(x)=

6

x

+2x-8=

2(x-1)(x-3)

x

，
當x變化時
 

	（0，1）	1	（1，3）	3	（3，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗		↘		↗

所以函數f（x）的單調遞增區間為（0，1）和（3，+∞）．
單調遞減區間為（1，3）．
若函數在（m，m+

1

2

）上是單調遞減函數，則有

m≥1 m+ 1 2 ≤3

，解得1≤m≤

5

2

．
若函數在（m，m+

1

2

）上是單調遞增函數，則有

m≥0 m+ 1 2 ≤1

或者m≥3，解得0≤m≤

1

2

或m≥3．
綜上若函數在（m，m+

1

2

）上是單調函數，則0≤m≤

1

2

或m≥3或1≤m≤

5

2

．
（Ⅲ）對任意k∈[-1，1]，函數y=kx，x∈（0，6]的圖象總在函數y=f（x）圖象的上方，
則只需要-x＞f（x）在x∈（0，6]恒成立，即可．
即-x＞6lnx+x²-8x+c恒成立，所以c＜-x²-6lnx+7x．
設g（x）=-x²-6lnx+7x，x∈（0，6]，則g′(x)=-2x-

6

x

+7=

-2x2+7x-6

x

=

-(2x-3)(x-2)

x

，x∈(0，6]，
當x∈(

3

2

，2)，g′(x)＞0此時函數單調遞增，
當x∈(0，

3

2

)和(2，6)，g′(x)＜0，此時函數單調遞減．
所以g（x）的最小值為g（

3

2

）或g（6）的較小者．
g(

3

2

)=-

9

4

-6ln?

3

2

+7×

3

2

=

33

4

-6ln?

3

2

，g（6）=-36-6ln6+7×6=6-6ln6，
g(

3

2

)-g(6)=

9

4

-6ln6-6ln

3

2

=

9

4

+12ln2＞0，所以g（x）的最小值為g（6）=6-6ln6，
所以c＜6-6ln6，又c＜3，所以c＜6-6ln6．
即c的取值范圍是（-∞，6-6ln6）．

點評：本題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導數研究函數的單調區間以及根據函數的增減性得到函數的最值．綜合性較強，難度較強．