Question

已知點(

2

 ，2  )在冪函數f（x）的圖象上，點(-2 ，  

1

4

)在冪函數g（x）的圖象上．
（1）求函數f（x），g（x）的解析式；
（2）判斷函數g（x）的單調性并用定義證明；
（3）問x為何值時有f（x）≤g（x）．

Answer 1

（1）由題易得f（x）=x² ，g（x）=x^-2
（2）g（x）在（0，+∞）上為減函數，在（-∞，0）上為增函數
證明：任取x₁＜x₂＜0，有g(x1)-g(x2)=

(x1+x2)(x2-x1)

x 21 x 22

∵x₁+x₂＜0，x₂-x₁＞0，x₁²x₂²＞0
∴g（x₁）-g（x₂）＜0
∴g（x）在（0，+∞）上為增函數．
任取0＜x₁＜x₂，有g(x1)-g(x2)=

(x2+x1)(x2-x1)

x 21

∵x₂+x₁＞0，x₂-x₁＞0，x₁²x₂²＞0
∴g（x₁）＞g（x₂）
∴g（x）在（0，+∞）上是減函數．
（3）當x＞1或x＜1時，f（x）≤g（x），證明如下
由（1），兩函數都是偶函數，先研究x＞0時滿足f（x）≤g（x）的x的取值范圍．
令x² =x^-2，解得x=1，又f（x）=x² 在（0，+∞）上是增函數，g（x）=x^-2在（0，+∞）上是減函數，故可得f（x）≤g（x）的x的取值范圍是x≤1
由兩函數的解析式知，此兩函數都是偶函數，故當x＜0時，f（x）≤g（x）的x的取值范圍是x≥-1
綜上當-1≤x≤1時，f（x）≤g（x）