Question

6．將函數f（x）=$\sqrt{2}$sinxcosx-$\sqrt{2}$cos²x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$的圖象向左平移φ（φ＞0）個單位長度后與偶函數g（x）的圖象重合，當φ取最小值時，函數g（x）的對稱軸方程為（　　）

• A． x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{4}$，k∈Z
• B． x=km，k∈Z
• C． x=km+$\frac{π}{2}$，k∈Z
• D． x=$\frac{kπ}{2}$，k∈Z

Answer 1

分析 利用三角函數恒等變換的應用化簡可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{4}$），利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律可得f（x+φ）=sin（2x+2φ-$\frac{π}{4}$），利用三角函數的奇偶性可求φ，進而可求函數g（x）的解析式，令2x=kπ，k∈Z，解得g（x）的對稱軸方程．

解答 解：∵f（x）=$\sqrt{2}$sinxcosx-$\sqrt{2}$cos²x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2x
=sin（2x-$\frac{π}{4}$），
∴將函數f（x）的圖象向左平移φ（φ＞0）個單位長度后，
可得函數解析式為：f（x+φ）=sin[2（x+φ）-$\frac{π}{4}$]=sin（2x+2φ-$\frac{π}{4}$），
∵f（x+φ）與偶函數g（x）的圖象重合，
∴2φ-$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：φ=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{3π}{8}$，k∈Z，
∵φ＞0，可得：φ取最小值$\frac{3π}{8}$時，g（x）=sin（2x+2×$\frac{3π}{8}$-$\frac{π}{4}$）=sin（2x+$\frac{π}{2}$）=cos2x，
∴令2x=kπ，k∈Z，解得g（x）的對稱軸方程為：x=$\frac{kπ}{2}$，k∈Z．
故選：D．

點評 本題主要考查了函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，三角函數恒等變換的應用，余弦函數的圖象和性質的應用，考查了轉化思想和數形結合思想的應用，屬于基礎題．