Question

已知數列，滿足，其中.
（Ⅰ）若，求數列的通項公式；
（Ⅱ）若，且.
（ⅰ）記，求證：數列為等差數列；
（ⅱ）若數列中任意一項的值均未在該數列中重復出現無數次. 求首項應滿足的條件.

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）
（ⅰ）證明略
（ⅱ）設集合，
當時，數列中必有某數重復出現無數次.
當時，均為單調數列，任意一個數在這6個數列中最多出現一次，所以數列中任意一項的值均未在該數列中重復出現無數次

解：（Ⅰ）當時，有
 …………2分
.                        ………………3分
又因為也滿足上式，所以數列的通項為.…………4分
（Ⅱ）（ⅰ）因為對任意的有，………………5分
所以
，
所以數列為等差數列.                              ………………7分
（ⅱ）設，（其中為常數且），所以

所以數列均為以7為公差的等差數列.            ………………9分
設，
（其中，為中的一個常數），
當時，對任意的有；         ………………10分
當時，

……………11分
①若，則對任意的有，所以數列為單調減數列；
②若，則對任意的有，所以數列為單調增數列；…12分
綜上：設集合，
當時，數列中必有某數重復出現無數次.
當時，均為單調數列，任意一個數在這6個數列中最多出現一次，所以數列中任意一項的值均未在該數列中重復出現無數次. ……14分