Question

16．設P，Q分別為橢圓$\frac{x^2}{10}+{y^2}=1$和圓x²+（y-6）²=2上的點，則P，Q兩點間的最大距離是（　　）

• A． $7+\sqrt{2}$
• B． $6\sqrt{2}$
• C． $5\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{46}+\sqrt{2}$

Answer 1

分析 判斷橢圓與圓的位置關系，設出P的參數坐標，求解P與圓的圓心的距離的最大值，然后求解P，Q兩點間的最大距離．

解答 解：由題意可知橢圓$\frac{x^2}{10}+{y^2}=1$長半軸為：$\sqrt{10}$，和圓x²+（y-6）²=2圓心是C（0，6）半徑為$\sqrt{2}$相離，
P為橢圓$\frac{x^2}{10}+{y^2}=1$上的點（$\sqrt{10}$cosθ，sinθ），Q是圓x²+（y-6）²=2上的點，
|PC|=$\sqrt{10co{s}^{2}θ+（sinθ-6）^{2}}$=$\sqrt{9co{s}^{2}θ-12sinθ+37}$
=$\sqrt{46-9si{n}^{2}θ-12sinθ}$=$\sqrt{50-（3sinθ+2）^{2}}$≤5$\sqrt{2}$，
則P，Q兩點間的最大距離是：$\sqrt{2}+5\sqrt{2}$=$6\sqrt{2}$．
故選：B．

點評 本題考查橢圓的簡單性質以及參數方程的應用，橢圓與圓的位置關系的應用，考查分析問題解決問題的能力．