Question

4．在△ABC中，a，b，c的對角分別為A，B，C的對邊，a²-c²=b²-$\frac{8bc}{5}$，a=6，△ABC的面積為24．
（1）求角A的正弦值；
（2）求邊b，c．

Answer 1

分析 （1）已知等式整理后，利用余弦定理化簡求出cosA的值，進(jìn)而求出sinA的值；
（2）利用三角形面積公式列出關(guān)系式，將sinA與已知面積代入求出bc的值，再將a與bc的值代入已知等式求出b²+c²的值，聯(lián)立即可求出b與c的值．

解答 解：（1）由在△ABC中，a²-c²=b²-$\frac{8bc}{5}$①，整理得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{4}{5}$，
則sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{3}{5}$；
（2）∵S=$\frac{1}{2}$bcsinA=24，sinA=$\frac{3}{5}$，
∴bc=80，
將a=6，bc=80代入①得：b²+c²=164，
與bc=80聯(lián)立，解得：b=10，c=8或b=8，c=10．

點評 此題考查了正弦、余弦定理，三角形面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．