Question

已知t∈R，圓C：x²+y²-2tx-2t²y+4t-4=0．
（1）若圓C的圓心在直線x-y+2=0上，求圓C的方程；
（2）圓C是否過定點？如果過定點，求出定點的坐標；如果不過定點，說明理由．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）求出圓C的圓心，利用圓C的圓心在直線x-y+2=0上，即可求圓C的方程；
（2）圓C：x²+y²-2tx-2t²y+4t-4=0，可化為（x²+y²-4）+（-2x+4）t+（-2y）t²=0，令

x2+y2-4=0 -2x+4=0 -2y=0

，可得圓C過定點．

解答： 解：（1）圓C：x²+y²-2tx-2t²y+4t-4=0，可化為圓（x-t）²+（y-t）²=t⁴+t²-4t+4，
∵圓C的圓心在直線x-y+2=0上，
∴t-t²+2=0，
∴t=-1或2，
∴圓C的方程為x²+y²+2x-2y-8=0或x²+y²-4x-8y+4=0；
（2）圓C：x²+y²-2tx-2t²y+4t-4=0，可化為（x²+y²-4）+（-2x+4）t+（-2y）t²=0，
令

x2+y2-4=0 -2x+4=0 -2y=0

，可得x=2，y=0，
∴圓C過定點（2，0）．

點評：本題考查圓的方程，考查圓過定點，考查學生的計算能力，比較綜合．