Question

函數(shù)f（x）=ax+

1

x

，且f（1）=3．
（1）求f（x）的表達(dá)式；   
（2）證明f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（1）=3方程求解即可，（2）利用導(dǎo)數(shù)符號(hào)證明即可．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=ax+

1

x

，且f（1）=3則有a+1=3，解得a=2，所以函數(shù)f（x）=2x+

1

x

，（x≠0），
（2）證明：由（1）可知f（x）=2x+

1

x

，則f′（x）=2-

1

x2

，
又∵x∈（1，+∞），
∴0＜

1

x2

＜1，
∴f′（x）=2-

1

x2

＞0，
∴f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的證明，利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性是常用方法，要熟練掌握．