Question

已知函數f（x）=x²-（a+2）x+alnx，其中常數a＞0．
（Ⅰ）當a＞2時，求函數f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）當a=4時，給出兩組直線：6x+y+m=0，3x-y+n=0，其中m，n為常數，判斷這兩組直線中是否存在y=f（x）的切線，若存在，求出切線方程；
（Ⅲ）設定義在D上的函數y=h（x）在點P（x₀，h（x_o））處的切線方程為y=g（x），若

h(x)-g(x)

x-x0

＞0在D內恒成立，則稱P為函數y=h（x）的“類對稱點”．當a=4時，試問y=f（x）是否存在“類對稱點”？若存在，請求出一個“類對稱點”的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,利用導數研究函數的單調性,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：（I）f′（x）=2x-（a+2）+

a

x

=

(2x-a)(x-1)

x

，（x＞0）．令f′（x）＞0，解得即可．
（II）當a=4時，f′（x）=2x+

4

x

-6≥4

2

-6，可知直線：6x+y+m=0，斜率k=-6＜4

2

-6，不可能是曲線的切線，舍去；3x-y+n=0，化為y=3x+n，3＞4

2

-6，可以為曲線的切線，令2x+

4

x

-6=3，解得x即可得出切點坐標．
（III）假設當a=4時，y=f（x）存在“類對稱點”P（m，f（m））．f（x）=x²-6x+4lnx，D=（0，+∞）．可得切線方程為：g（x）=(2m+

4

m

-6)(x-m)+（m²-6m+4lnm），令φ（x）=f（x）-g（x），則φ（m）=0．φ′（x）=

2

m

(x-m)(m-

2

x

)，當m＜

2

時，φ（x）在(m，

2

m

)上φ′（x）＜0，利用單調性可得可得x∈(m，

2

m

)，

φ(x)

x-m

＜0．同理當m＞

2

時，當x∈(

2

m

，m)時，

φ(x)

x-m

＜0．得出結論：在(0，

2

)∪(

2

，+∞)上不存在“類對稱點”．可以證明x=

2

是f（x）的“類對稱點”的橫坐標．

解答： 解：（I）f′（x）=2x-（a+2）+

a

x

=

2x2-(a+2)x+a

x

=

(2x-a)(x-1)

x

，（x＞0）．
∵a＞2，∴

a

2

＞1．
令f′（x）＞0，解得x＞

a

2

，或0＜x＜1．
∴函數f（x）的單調遞增區間是（0，1），(

a

2

，+∞)．
（II）當a=4時，f′（x）=2x+

4

x

-6≥2×2

x× 2 x

-6=4

2

-6，當且僅當x=

2

時取等號．
給出直線：6x+y+m=0，斜率k=-6＜4

2

-6，不可能是曲線的切線，舍去；
3x-y+n=0，化為y=3x+n，∵3＞4

2

-6，可以為曲線的切線，令2x+

4

x

-6=3，解得x=

1

2

或4．
可得切點(

1

2

，-

11

4

-4ln2)，（4，8ln2-8），
分別代入切線方程可得n=-

17

4

-4ln2或8ln2-20．
∴切線方程分別為：y=3x-

17

4

-4ln2或y=3x+8ln2-20．
（III）假設當a=4時，y=f（x）存在“類對稱點”P（m，f（m））．
f（x）=x²-6x+4lnx，D=（0，+∞）．
由（II）可知：f′（m）=2m+

4

m

-6．
∴切線方程為：y-（m²-6m+4lnm）=(2m+

4

m

-6)(x-m)，
化為g（x）=(2m+

4

m

-6)(x-m)+（m²-6m+4lnm），
令φ（x）=f（x）-g（x）
=x²-6x+4lnx-(2m+

4

m

-6)(x-m)-（m²-6m+4lnm），則φ（m）=0．
則φ′（x）=2x+

4

x

-6-(2m+

4

m

-6)=

2

m

(x-m)(m-

2

x

)，
當m＜

2

時，φ（x）在(m，

2

m

)上φ′（x）＜0，∴φ（x）在此區間上單調遞減，
∴x∈(m，

2

m

)，φ（x）＜φ（m）=0，
可得x∈(m，

2

m

)，

φ(x)

x-m

＜0．
同理當m＞

2

時，當x∈(

2

m

，m)時，

φ(x)

x-m

＜0．
∴在(0，

2

)∪(

2

，+∞)上不存在“類對稱點”．
當x=

2

時，φ′（x）=

2

x

(x-

2

)2，φ（x）在（0，+∞）上是增函數，∴

φ(x)

x-m

＞0在（0，+∞）恒成立．
∴x=

2

是f（x）的“類對稱點”的橫坐標．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性極值、切線方程、新定義“類對稱點”，考查了分類討論的思想方法，考查了恒成立問題的等價轉化方法，考查了利用導數綜合解決問題的能力，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．