Question

已知關于x的函數f（x）=m（x²-4x+lnx）-（2m²+1）x+2lnx，其中，m∈R，函數f（x）在（1，0）處的切線斜率為0．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）已知函數f（x）的圖象與直線y=k²-2k無公共點，求k的范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：函數的性質及應用,導數的概念及應用,導數的綜合應用

分析：（1）求出函數的導數，由函數f（x）在（1，0）處的切線斜率為0，即有f′（1）=0，f（1）=0，列方程可得m=-1，即可得到f（x）的解析式；
（2）求f（x）的導數，令導數大于0，得增區間，令導數小于0，得減區間，進而得到函數的極大值，也為最大值0，再由題意可得k²-2k＞0，解得即可．

解答： 解：（1）函數f（x）=m（x²-4x+lnx）-（2m²+1）x+2lnx
的導數f′（x）=m（2x-4+

1

x

）-（2m²+1）+

2

x

，
由函數f（x）在（1，0）處的切線斜率為0，
即有f′（1）=0，f（1）=0，
即為2m²+m-1=0，且2m²+3m+1=0，
解得m=-1，
即有f（x）=-x²+x+lnx；
（2）f（x）=-x²+x+lnx的導數為f′（x）=-2x+1+

1

x

=

-2x2+x+1

x

=

-(2x+1)(x-1)

x

，
當x＞1時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，
當0＜x＜1時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增．
則有f（x）在x=1處取得極大值，也為最大值，且為0，
由于函數f（x）的圖象與直線y=k²-2k無公共點，
則k²-2k＞0，
解得k＞2或k＜0．

點評：本題考查導數的運用：求切線的斜率和單調區間及極值、最值，正確求導和解二次不等式是解題的關鍵．