Question

【題目】如圖，三棱柱的側面是邊長為1的正方形，側面側面是的中點．

（1）求證：平面；

（2）求證：平面；

（3）在線段上是否存在一點，使二面角為45°，若存在，求的長；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）存在，.

【解析】

試題分析：（1）根據線面平行的判定定理即可證明平面；（2）根據線面垂直的判定定理即可證明平面；（3）在建立空間直角坐標系，利用向量法結合二面角的大小建立方程關系即可得到結論．

試題解析：（1）證明：連接與相交于，則為的中點，連接，

因為為的中點，所以．

因為平面平面，

所以平面

（2）證明：，在中，．

因為，所以，

因為側面側面，側面側面，

平面，所以平面

（3）解：

兩兩互相垂直，建立空間直角坐標系，

假設在線段上存在一點，使二面角為，

平面的法向量，設，．

所以，

設平面的法向量為，

則，所以，

令，得，所以的法向量為．

因為，所以，解得，故，

因此在線段上存在一點，使二面角為，且