Question

11．某校高三期中考試后，數學教師對本次全部數學成績按1：20進行分層抽樣，隨機抽取了20名學生的成績為樣本，成績用莖葉圖記錄如圖所示，但部分數據不小心丟失，同時得到如表所示的頻率分布表：

分數段	[50，70）	[70，90）	[90，110）	[110，130）	[130，150]	總計
頻數			c	b
頻率	a

（Ⅰ）求表中a，b，c的值，并估計這次考試全校高三數學成績的及格率（成績在[90，150]內為及格）；
（Ⅱ）設莖葉圖中成績在[100，120）范圍內的樣本的中位數為m，若從成績在[100，120）范圍內的樣品中每次隨機抽取1個，每次取出不放回，連續取兩次，求取出兩個樣本中恰好一個是數字m的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由莖葉圖知成績在[50，70）范圍內的有2人，在[110，130）范圍內的有3人，由此能求出結果．
（Ⅱ）由莖葉圖得m=106，列舉出一切可能的結果組成的基本事件空間，設事件A=“取出的兩個樣本中恰好有一個是數字m”，列舉出事件A包含的基本事件，由此能求出取出兩個樣本中恰好一個是數字m的概率．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）由莖葉圖知成績在[50，70）范圍內的有2人，
在[110，130）范圍內的有3人，
∴$a=\frac{2}{20}=0.1，b=3$，
成績在[90，110）范圍內的頻率為1-0.1-0.25-0.25=0.4，
∴成績在1-0.1-0.25-0.25=0.4范圍內的樣本數為c=20×0.4=8，
估計這次考試全校高三學生數學成績的及格率為：
p=1-0.1-0.25=0.65．
（Ⅱ）由莖葉圖得m=106，一切可能的結果組成的基本事件空間為：
Ω={（100，102），（100，102_（1）），（100，102_（2）），（100，116），
（100，118），（102，106_（1）），（102，106_（2）），（102，116），
（102，118），（106_（1），106_（2）），（106_（1），116），（106_（1），118），
（106_（2），116），（106_（2），118），（116，118）}，共15個基本事件組成；
設事件A=“取出的兩個樣本中恰好有一個是數字m”，
則A={（100，106_（1）），（100，106_（2）），（102，106_（1）），
（102，106_（2）），（106_（1），116），（106_（1），118），
（106_（2），116），106_（2），118）}，共由8個基本事件組成，
∴取出兩個樣本中恰好一個是數字m的概率為$P（A）=\frac{8}{15}$．

點評 本題考查莖葉圖的應用，考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意列舉法的合理運用．