Question

19．給出下列命題：
（1）已知等比數列的前n項和為S_n，則S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n成等比數列
（2）在△ABC中，若sinA=cosB，則△ABC的形狀為直角三角形
（3）數據2，3，4，5的標準差是數據4，6，8，10的標準差的一半
（4）已知f（x）=2x²+5x+3，g（x）=x²+4x+2，則f（x）＞g（x）
（5）已知0＜x＜$\frac{1}{3}$，則函數y=x（1-3x）的最大值是$\frac{1}{12}$．
則上述命題正確的有幾個（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 （1）可舉例說明，令等比數列{a_n}為：1，-1，1，-1，…，S₂，S₄-S₂，S₆-S₄不能成等比數列，可判斷（1）錯誤；
（2）在△ABC中，不妨令A=100°，B=10°，滿足sinA=cosB，但此時的三角形不是直角三角形，可判斷（2）錯誤；
（3）利用4，6，8，10分別為2，3，4，5的2倍，可知數據2，3，4，5的標準差是數據4，6，8，10的標準差的一半，可判斷（3）正確；
（4）作差f（x）-g（x）=（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$＞0⇒f（x）＞g（x），可判斷（4）正確；
（5）0＜x＜$\frac{1}{3}$，則函數y=x（1-3x）=-3（x-$\frac{1}{6}$）+$\frac{1}{12}$，當x=$\frac{1}{6}$時，函數y=x（1-3x）取得最大值$\frac{1}{12}$，可判斷（5）正確．

解答 解：對于（1），令等比數列{a_n}為：1，-1，1，-1，…，設該等比數列的前n項和為S_n，則S₂=0，S₄-S₂=0，S₆-S₄=0，顯然S₂，S₄-S₂，S₆-S₄不能成等比數列，故（1）錯誤；
對于（2），在△ABC中，若sinA=cosB，則△ABC的形狀為直角三角形，錯誤，如A=100°，B=10°，滿足sinA=cosB，但此時的三角形不是直角三角形，故（2）錯誤；
對于（3），因為4，6，8，10分別為2，3，4，5的2倍，故前者的方差是后者方差的4倍，即前者的標準差是后者標準差的2倍，設數據2，3，4，5的標準差是s₁，則數據4，6，8，10的標準差s₂=2s₁，即數據2，3，4，5的標準差是數據4，6，8，10的標準差的一半，故（3）正確；
對于（4），因為f（x）=2x²+5x+3，g（x）=x²+4x+2，f（x）-g（x）=x²+x+1=（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$＞0，所以f（x）＞g（x），故（4）正確；
對于（5），因為0＜x＜$\frac{1}{3}$，所以y=x（1-3x）=-3x²+x=-3（x-$\frac{1}{6}$）+$\frac{1}{12}$，當x=$\frac{1}{6}$時，函數y=x（1-3x）取得最大值$\frac{1}{12}$，故（5）正確；
綜上所述，上述命題正確的有3個，
故選：C．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，考查等比數列的性質及應用，考查二次函數的最值、解三角形、方差的應用，屬于綜合題．